Nul ne met en doute que les motifs géométriques et décoratifs islamiques, qu'on admire à l'Alhambra de Grenade ou au Palais de la Bahia à Marrakech, sont le résultat du travail de grands artistes. Aujourd'hui, de nouvelles formes d'arts géométriques existent et c'est l'une d'elles que nous voulons présenter : l'art fractal en trois dimensions. Il est né il y a une dizaine d'années et il propose des images statiques, des sculptures et des films. Fondé sur les mathématiques, sa visée semble exclusivement esthétique. Mathématiquement, cinématographiquement, mais aussi sociologiquement nous sommes en présence d'un monde nouveau et troublant. Certains le jugeront trop abstrait et déconnecté de toute réalité historique, politique ou humaine. C'est peut-être vrai, et cela rend délicate son approche pour celui qui de l'extérieur découvre ce foisonnement baroque de formes évolutives. Rien ne semble les justifier, sinon l'harmonie complexe et déchiquetée qui soumet nos yeux et notre esprit à une profusion d'images si étranges qu'on les perçoit comme issues d'un monde de machines plus que comme le résultat d'une volonté humaine. Nous tenterons d'expliquer les mécanismes et les raisons de cet art surgi des calculs et des mathématiques.

En 2008 une nouvelle façon de concevoir la monnaie a été proposée, qui remet en cause les anciennes idées sur cette institution. Comme pour le courrier électronique ou internet qui ne sont aux mains d'aucune autorité et conduisent donc à une meilleure appropriation de l'information par tous, et à des pratiques démocratiques nouvelles, il semble que, dans le domaine monétaire, tout pourrait fonctionner sans autorité centrale de contrôle. Le bitcoin est la première version de ce nouveau type de monnaies numériques. Il est fondé sur l'utilisation d'un réseau pair à pair et de plusieurs primitives cryptographiques. Toujours en phase expérimentale, il est sujet à de nombreuses critiques en même temps qu'un succès notable. Comment fonctionne-t-il ? Qu'est-ce qu'une blockchain sur laquelle le bitcoin s'appuie mais qui peut servir à bien d'autres choses ? Que faut-il penser de ces monnaies nouvelles fondées sur les progrès de la cryptographie mathématique ?

Produire du hasard avec un ordinateur est utile pour la programmation des jeux, pour réaliser des simulations, et pour toutes sortes d'autres objectifs encore : images, tests, codes secrets, etc. Cette problématique est délicate, et de nombreux pièges persistent malgré maintenant plus de cinquante ans de travaux dans ce domaine. En cryptographie, les exigences sont différentes de celles rencontrées en modélisation, mais des progrès récents ont eu lieu qui nous font mieux comprendre le hasard en général, et comment l'obtenir et l'approcher. Une troisième sorte de hasard a aussi été identifiée grâce à la théorie de la complexité de Kolmogorov. Ce troisième hasard, qui est celui que l'on trouve dans les décimales du nombre oméga de Gregory Chaitin, est particulièrement troublant et presque paradoxal du fait de ses liens avec les aspects les plus profonds de la logique mathématique (l'incomplétude de Gödel).

Le monde du vivant est complexe. Et pourtant, il est fait d’un nombre limité d’éléments chimiques qui interagissent selon des lois simples. Comment des objets simples obéissant à des règles simples, peuvent-ils engendrer des comportements riches et inattendus ? Grâce aux ordinateurs, on étudie cette question et ce que l'on découvre amuse et émerveille. Le modèle des automates cellulaires, et le cas particulier du « Jeu de la vie » de John Conway (créé il y a plus de 40 ans) aident à comprendre cette émergence d'êtres structurés. Très visuelle cette conférence montre l'évolution coordonnée de configurations possédant parfois des milliards de cellules. Une introduction ludique aux idées de la complexité informatique.

Les paradoxes sont parfois le résultat d'erreurs que l'on doit corriger. Dans d'autres situations, ils obligent à développer de nouveaux concepts et outils. Leur utilité en mathématiques est grande et ils sont à l'origine de progrès importants. Pourtant les résoudre est un jeu ! À l'aide d'exemples nous illustrerons différents types de paradoxes en nous attachant tout particulièrement aux paradoxes graphiques et logiques. Principaux paradoxes abordés : les figures impossibles, les paradoxes géométriques de Curry, le paradoxe de Mona Lisa, les paradoxes statistiques de Simpson et les calculs faux.

La théorie de jeux permet l'étude des jeux coopératifs et produit des résultats précis et souvent étonnants. Le « dilemme des prisonniers » est un modèle simple qui conduit à la fois à des résultats théoriques inattendus (considérés parfois comme paradoxaux), mais aussi dont les outils de simulation informatique mènent à l'identification et à la sélection de stratégies efficaces de collaboration, dont le fameux « donnant-donnant » . On tire des ces études des leçons pratiques, c'est-à-dire des conseils pour bien interagir face à un partenaire inconnu avec lequel on doit choisir s'il faut lui faire confiance ou au contraire agir avec prudence et méfiance.